Question

5．如圖，?ABCD中，∠B=70°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF=BE，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G，有如下結(jié)論：①AF=CG；②∠EFG=35°；③CE=DG；④∠FEG=100°；⑤∠EGC=55°；其中正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②③⑤
• C． ①③④⑤
• D． ②⑤

Answer 1

分析 延長(zhǎng)GE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，EO⊥GF與點(diǎn)O，易證得EF=EH=EG，EO=$\frac{1}{2}（GC+BF）$．當(dāng)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，可證得AF=CG，從而證得CE=DG，但AC不一定會(huì)經(jīng)過(guò)O，當(dāng)AD沿著B(niǎo)A、CD移動(dòng)仍滿(mǎn)足題中條件．所以①③錯(cuò)誤．由等腰三角形的性質(zhì)以及直角的性質(zhì)可求得∠EFG=35°，；④∠FEG=110°，∠EGC=55°．

解答 解：延長(zhǎng)GE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，如圖，
∵?ABCD中AB∥CD，
∴∠H=∠EGC，
在△BEH和△CEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEH=∠CEG}\\{∠H=∠EGC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△CEG（AAS），
∴HE=EG，
又∵AB∥CD，F(xiàn)G⊥CD，
∴FG⊥AB，即∠HFG=90°
∴EF=EH=EG，
作EO⊥FG于點(diǎn)O，
又∵EF=EG
∴點(diǎn)O為FG的中點(diǎn)．
連接AC，當(dāng)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，
又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)
∴EO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}（GC+BF）$．
∴GC=AF
但是此題中AC不一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（AD邊沿著B(niǎo)A、CD方向移動(dòng)仍符合題中的條件），所以CG不一定等于AF．故①錯(cuò)誤．
又∵BF=BE=EC，AB=CD，
∴只有當(dāng)GC=AF時(shí)，CE=DG，
但GC不一定等于AF，故③錯(cuò)誤．
∵∠FBE=70°，BF=BE，
∴∠BFE=55°
又∵∠BFG=90°，
∴∠EFG=35°，故②正確．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF=35°，
∴∠FEG=180°-35°-35°=110°，故④錯(cuò)誤．
∵∠FGC=90°，
∴∠EGC=55°，故⑤正確．
故②⑤正確；
故選D．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線(xiàn)：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分．
（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，正確作出輔助線(xiàn)是關(guān)鍵．
（3）考查了梯形的中位線(xiàn)和等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．