Question

2．已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，點P是對角線AC上的一個動點，且∠APE=∠B，PE分別交射線AD和射線CD于點E和點G；

（1）如圖1，當點E、D重合時，求AP的長；
（1）如圖2，當點E在AD的延長線上時，設AP=x，DE=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當線段DG=$\sqrt{2}$時，求AE的值．

Answer 1

分析 （1）作AH垂直于BC，垂足為H，如圖1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH為等腰直角三角形，由等腰梯形的兩底之差的一半求出BH的長，即為AH的長，由BC-BH求出HC的長，利用勾股定理求出AC的長，由AD與BC平行，得到一對內錯角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似得到三角形ADP與三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的長即可；
（2）由AD與BC平行，得到一對內錯角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似得到三角形ADP與三角形CAB相似，由相似得比例列出y與x的函數(shù)解析式，并求出定義域即可；
（3）分兩種情況考慮：當點G在線段CD上時，作DM∥EP交AC于點M，如圖2所示，同理求出AM的長，進而求出MC的長，由CD-DG求出GC的長，根據(jù)GP與MD平行，由平行得比例求出PM的長，由DM與EP平行，根據(jù)平行得比例，求出DE的長，根據(jù)AD+DE求出AE的長；②當點G在CD的延長線上時，如圖3所示，同理求出DE的長，由AD-DE求出AE的長即可．

解答 解：（1）作AH⊥BC于點H，如圖1所示：

∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$×（9-3）=3，
∴BH=AH=3，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CH=BC-BH=9-3=6，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
又∠APE=∠B，
∴△ADP∽△CAB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{BC}$，即$\frac{3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{AP}{9}$，
∴AP=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
（2）如圖2所示，

∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
∵∠APE=∠B，
∴△APE∽△CBA，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{BC}$，即$\frac{3+y}{3\sqrt{5}}$=$\frac{x}{9}$，
∴y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x-3（$\frac{9\sqrt{5}}{5}$＜x≤3$\sqrt{5}$）；
（3）分兩種情況考慮：
①當點G在線段CD上時，作DM∥EP交AC于點M，如圖2所示，
由（1），同理可得AM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵DG=$\sqrt{2}$，CD=AB=3$\sqrt{2}$，
∴CG=2$\sqrt{2}$，
∵GP∥DM，
∴$\frac{CG}{DG}$=$\frac{CP}{MP}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}-MP}{MP}$，
∴MP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵DM∥EP，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AM}{MP}$，即$\frac{3}{DE}$=$\frac{\frac{9\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，
解得：DE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=AD+DE=3+$\frac{2}{3}$=$\frac{11}{3}$；
②當點G在CD的延長線上時，如圖3所示，

同①可得DE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=AD-DE=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：平行線等分線段成比例，等腰梯形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．