Question

（2012•相城區(qū)一模）如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點(diǎn)．
（1）求出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）觀察圖象，寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；
（2）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點(diǎn)，得出交點(diǎn)兩側(cè)兩函數(shù)大小正好不同，結(jié)合圖象得出即可．
（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQOQ=PC，而點(diǎn)P（-1，-2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），
將點(diǎn)M（-2，-1）坐標(biāo)代入得k=

1

2

，所以正比例函數(shù)解析式為y=

1

2

x，
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k1

x

（k₁≠0），
將點(diǎn)M（-2，-1）坐標(biāo)代入得k₁=2
所以反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；

（2）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點(diǎn)，結(jié)合圖象得出：
當(dāng)-2＜x＜0或x＞2時(shí)，正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值．

（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，
而點(diǎn)P（-1，-2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，
所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值，
因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（n，

2

n

），
由勾股定理可得OQ²=n²+

4

n2

=n²+

4

n2

-4+4=（n-

2

n

）²+4，
所以當(dāng)（n-

2

n

）²=0即n-

2

n

=0時(shí)，OQ²有最小值4，
又因?yàn)镺Q為正值，所以O(shè)Q與OQ²同時(shí)取得最小值，
所以O(shè)Q有最小值2，由勾股定理得OP=

5

，
所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是2（OP+OQ）=2（

5

+2）=2

5

+4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．要注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．