Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，E是CD中點(diǎn)，AE，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，AE的垂直平分線交AE于點(diǎn)H，BC交于點(diǎn)G，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：利用勾股定理求出AE，然后利用“角邊角”求出△ADE和△FGE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=AE，CF=AD，再求出FH，然后求出△ABF和△GHF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵E是CD中點(diǎn)，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×8=4，
由勾股定理得，AE=

AD2+DE2

=

82+42

=4

5

，
在△ADE和△FGE中，

∠D=∠ECF=90° CE=DE ∠CEF=∠AED

，
∴△ADE≌△FGE（ASA），
∴EF=AE，CF=AD，
∵GH垂直平分AE，
∴EH=

1

2

AE=2

5

，
∴FH=EF+EH=4

5

+2

5

=6

5

∵∠F=∠F，∠B=∠GHF=90°，
∴△ABF∽△GHF，
∴

FG

AF

=

FH

FB

，
即

FG

4 5 +4 5

=

6 5

8+8

，
解得FG=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等和相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．