Question

在△ABC中，∠A=60°，O是外心，H是垂心．求證：AO=AH．

Answer 1

分析：作垂心H關(guān)于AB軸對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)為H'．根據(jù)三角形的垂心是三角形的三條高的交點(diǎn)，則∠BCH=∠BAH=∠BAH’，從而，H'，A，B，C四點(diǎn)共圓，點(diǎn)H’在△ABC的外接圓O上，得OH'=OA=OB=OC；根據(jù)三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，從而∠CAO=∠BAH=∠BAH'，得到等邊三角形OAH′，即可證明．

解答：證明：作垂心H關(guān)于AB軸對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)為H'．
于是∠BCH=∠BAH=∠BAH’，H'，A，B，C四點(diǎn)共圓，點(diǎn)H’在△ABC的外接圓O上，
從而OH'=OA=OB=OC，
則∠CAO=∠BAH=∠BAH'．
又∠BAC=60°，
∴∠OAH'為60°，
∴△OAH'為等邊三角形，
∴AO=AH'=AH．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了三角形的外心和垂心的性質(zhì)．