Question

如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上．

(1)如圖1，若E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF；

(2)如圖2，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形．

Answer 1

答案：
解析：

[解答]證明：(1)連接AC， 　　∵菱形ABCD中，∠B＝60°， 　　∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°－∠B＝120°， 　　∴△ABC是等邊三角形， 　　∵E是BC的中點(diǎn)， 　　∴AE⊥BC， 　　∵∠AEF＝60°， 　　∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°， 　　∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠C 　　＝180°－30°－120°＝30°， 　　∴∠FEC＝∠CFE， 　　∴EC＝CF， 　　∴BE＝DF； 　　(2)連接AC， 　　∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60° 　　∴AB＝BC，∠D＝∠B＝60°，∠ACB＝∠ACF， 　　∴△ABC是等邊三角形， 　　∴AB＝AC，∠ACB＝60°， 　　∴∠B＝∠ACF＝60°， 　　∵AD∥BC， 　　∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°＋∠FAD， 　　∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°＋∠FAD， 　　∴∠AEB＝∠AFC， 　　在△ABE和△AFC中， 　　∠B＝∠ACF　∠AEB＝∠AFC　AB＝AC 　　∴△ABE≌△ACF(AAS)， 　　∴AE＝AF， 　　∵∠EAF＝60°， 　　∴△AEF是等邊三角形． 　　[專題]證明題． 　　[分析](1)首先連接AC，由菱形ABCD中，∠B＝60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，易得△ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AE⊥BC，繼而求得∠FEC＝∠CFE，即可得EC＝CF，繼而證得BE＝DF； 　　(2)首先連接AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得AB＝AC，以求得∠ACF＝∠B＝60°，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEB＝∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE＝AF，證得：△AEF是等邊三角形． 　　[點(diǎn)評(píng)]此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

提示：

菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定．