Question

14．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，取BF=AB，作DF⊥BC交AC于D，作AE⊥BC于E．
（1）求證：AG=GF．
（2）求證：GF∥AC．

Answer 1

分析 （1）DF⊥BC知∠BAD=∠BFD=90°，根據(jù)已知條件可證RT△BAD≌RT△BFD，則∠BDA=∠BDF，DA=DF，進而得到△GAD≌△GFD，得證；
（2）由DF⊥BC，AE⊥BC知AE∥DF，即∠EGF=∠GFD，又∠GFD=∠GAD，故∠EGF=∠GAD，得證．

解答 解：（1）證明：∵DF⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠BFD=90°，
在RT△BAD和RT△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴RT△BAD≌RT△BFD（HL），
∴∠BDA=∠BDF，DA=DF，
在△GAD和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DF}\\{∠GDA=∠GDF}\\{GD=GD}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△GFD（SAS），
∴AG=GF；
（2）證明：∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥DF，
∴∠EGF=∠GFD，
由（1）知△GAD≌△GFD，
∴∠GFD=∠GAD，
∴∠EGF=∠GAD，
∴GF∥AC．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，通過證明一組三角形全等為另一組三角形的全等創(chuàng)造條件是解題關(guān)鍵．