Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC
（1）求證：BD平分∠ABC
（2）若BC=2AB，求∠C的度數．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC；

（2）解：過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=180°-∠AEF=90°，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD，
∵AD=DC，
∴EF=DC，
∵AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C，AB=CD，
∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴△AEB≌△DFC，
∴BE=CF，
∴CF=，
∵BC=2AB=2DC，
∴CF===，
在Rt△CFD中，cosC=，
∴∠C=60°．
分析：（1）要證明BD平分∠ABC，只可證明∠ABD=∠DBC即可；由平行線的性質與等邊對等角定理即可證得∠ABD=∠DBC；
（2）求∠C的度數可過分別過A、D作梯形的高，在直角三角形中利用銳角三角函數求得．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質以及矩形的性質與判定．解題時注意梯形中輔助線的應用．