Question

14．某糧油超市平時每天都將一定數(shù)量的某些品種的糧食進行包裝以便出售，已知每天包裝大黃米的質(zhì)量是包裝江米質(zhì)量$\frac{5}{4}$倍，且每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量之和為45千克．
（1）求平時每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量各是多少千克？
（2）為迎接今年6月9日的“端午節(jié)”，該超市決定在前20天增加每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量，二者的包裝質(zhì)量與天數(shù)的變化情況如圖所示，節(jié)日后又恢復到原來每天的包裝質(zhì)量．分別求出在這20天內(nèi)每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）假設該超市每天都會將當天包裝后的大黃米和江米全部售出，已知大黃米成本價為每千克7.9元，江米成本每千克9.5元，二者包裝費用平均每千克均為0.5元，大黃米售價為每千克10元，江米售價為每千克12元，那么在這20天中有哪幾天銷售大黃米和江米的利潤之和大于120元？[總利潤=售價額-成本-包裝費用]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)比例設出每天包裝大黃米5m千克，江米4m千克，由兩種米每天包裝總數(shù)為45千克可得出關于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）設出在這20天內(nèi)每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關系式，結(jié)合圖象分段利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（3）算出每種米每千克的利潤，結(jié)合（2）的關系式可列出關于x的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設平時每天包裝大黃米5m千克，則每天包裝江米4m千克，
根據(jù)題意可知：5m+4m=45，
解得：m=5，
5m=5×5=25，
4m=4×5=20．
答：平時每天包裝大黃米25千克，每天包裝江米20千克．
（2）設這20天內(nèi)每天包裝大黃米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關系式為y₁=k₁x+b₁，每天包裝江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關系式為y₂=k₂x+b₂，
當0≤x＜15時，有$\left\{\begin{array}{l}{25=_{1}}\\{40=15{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{20=_{2}}\\{38=15{k}_{2}+_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{_{1}=25}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=1.2}\\{_{2}=20}\end{array}\right.$．
即y₁=x+25，為y₂=1.2x+20；
當15≤x≤20時，有$\left\{\begin{array}{l}{40=15{k}_{1}+_{1}}\\{25=20{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{38=15{k}_{2}+_{2}}\\{20=20{k}_{2}+_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{_{1}=85}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3.6}\\{_{2}=92}\end{array}\right.$．
即y₁=-3x+85，為y₂=-3.6x+92．
綜上可知：每天包裝大黃米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關系式為y₁=$\left\{\begin{array}{l}{x+25（0≤x＜15）}\\{-3x+85（15≤x≤20）}\end{array}\right.$，
每天包裝江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關系式為y₂=$\left\{\begin{array}{l}{1.2x+20（0≤x＜15）}\\{-3.6x+92（15≤x≤20）}\end{array}\right.$．
（3）大黃米每千克的利潤為10-0.5-7.9=1.6（元）；江米每千克的利潤為12-9.5-0.5=2（元）．
當0≤x＜15時，每天銷售大黃米和江米的利潤之和1.6×（x+25）+2×（1.2x+20）=4x+80，
令4x+80＞120，解得：10＜x＜15；
當15≤x≤20時，每天銷售大黃米和江米的利潤之和1.6×（-3x+85）+2×（-3.6x+92）=-12x+320，
令-12x+320＞120，解得：15≤x≤16．
故在這20天中從第11 6天銷售大黃米和江米的利潤之和大于120元．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）利用比例設出未知數(shù)，列出方程；（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）列出關于x的一元一次不等式．本題屬于中檔題型，（1）（3）難度不大，（2）有些難度，由于函數(shù)圖象是折線故需分段考慮函數(shù)解析式．