Question

已知點(diǎn)O是矩形ABCD內(nèi)（不包含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，AB=5，AD=12，過(guò)點(diǎn)O分別作邊AB、AD的平行線(xiàn)EF、GH，交矩形的四邊于E、F、G、H，如圖三；
（1）求證：四邊形AEOG是矩形；
（2）如圖一，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)、矩形AEOG是正方形時(shí)，求四邊形OHCF的面積S；
（3）如圖二，連結(jié)EG，GF，F(xiàn)H，EH，求四邊形EGFH的周長(zhǎng)C的最小值；
（4）若x＞0，y＞0，請(qǐng)你在圖三中利用數(shù)形結(jié)合的思想，求代數(shù)式

x2+(12-y)2

+

y2+(5-x)2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）先根據(jù)EO∥AG，AE∥OG得出四邊形AEOG是平行四邊形，再由∠A=90°即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)OE=OG=x，則BE=5-x，由EF∥AD可得出△BOE∽△BDA，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）連接AC，OA，OC，根據(jù)勾股定理得出AC=13．再由三角形的三邊關(guān)系得出OA+OC≥13，EH+GF≥13，由此可得出結(jié)論；
（4）設(shè)AE=x，GD=y，BE=5-x，根據(jù)勾股定理得出AO、CO的表達(dá)式，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵EO∥AG，AE∥OG，
∴四邊形AEOG是平行四邊形．
∵∠A=90°，
∴四邊形AEOG是矩形；

（2）設(shè)OE=OG=x，則BE=5-x，
∵EF∥AD，
∴△BOE∽△BDA，
∴

BE

AB

=

OE

AD

，即

5-x

5

=

x

12

，解得x=

60

17

．
∴OH=BE=5-

60

17

=

25

17

，OF=12-

60

17

=

144

17

，
∴S=OH•OF=

25

17

×

144

17

=

3600

17

；

（3）連接AC，OA，OC，
∵AB=5，BC=12，
∴AC=13．
∵OA=EG，OC=HF，OA+OC≥13，
∴EC+HF≥13．
同理，EH+GF≥13，
∴EG+HF+EH+GF≥26；

（4）設(shè)AE=x，GD=y，BE=5-x，則AO=

x2+(12-y)2

，CO=

y2+(5-x)2

．
∵AO+OC≥AC=13，
∴

x2+(12-y)2

+

y2+(5-x)2

的最小值為13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，難度適中．