Question

已知：關(guān)于x的方程x²+（m-2）x+m-3=0．
（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足2x₁+x₂=m+1，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用一元二次方程根的判別式證明方程的根的情況．（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，把兩根之和代入滿足的等式，得到x₁，再把x₁代入方程可以求出m的值．
解答：（1）證明：△=（m-2）²-4×（m-3），
=m²-6m+16，
=（m-3）²+7＞0，
∴無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：x₁+x₂=-（m-2），
2x₁+x₂=x₁+（x₁+x₂）=m+1，
∴x₁=m+1+m-2=2m-1，
把x₁代入方程有：
（2m-1）²+（m-2）（2m-1）+m-3=0，
整理得：
6m²-m=0，
6m（m-）=0，
∴m₁=0，m₂=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，（1）題用根的判別式證明無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）題根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用含m的式子表示兩根之和，代入所給等式求出x₁，再把x₁代入方程求出m的值．