Question

四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂于探索，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．
（1）四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)三角形（如圖①），其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？試試看．
已知：在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)．（如圖①）
求證：S_△OBC•S_△OAD=S_△OAB•S_△OCD；
（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明：若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，則應(yīng)分別分別過(guò)點(diǎn)A、C，做AE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于E，CF⊥BD于F．然后根據(jù)三角形的面積公式分別計(jì)算要證明的等式的左邊和右邊即可；
（2）根據(jù)（1）中的思路，顯然可以歸納出：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．證明思路類似．

解答：
證明：（1）分別過(guò)點(diǎn)A、C，做AE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于E，CF⊥BD于F，
則有：S_△AOB=

1

2

BO•AE，
S_△COD=

1

2

DO•CF，
S_△AOD=

1

2

DO•AE，
S_△BOC=

1

2

BO•CF，
∴S_△AOB•S_△COD=

1

4

BO•DO•AE•CF，
S_△AOD•S_△BOC=

1

4

BO•DO•CF•AE，
∴S_△AOB•S_△COD=S_△AOD•S_△BOC．（4分）；

（2）能．
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．
或S_△AOD•S_△BOC=S_△AOB•S_△DOC，（5分）
已知：在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，O為BD上一點(diǎn)，
求證：S_△AOD•S_△BOC=S_△AOB•S_△DOC．
證明：分別過(guò)點(diǎn)A、C，作AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于E，作CF⊥BD于F，
則有：S_△AOD=

1

2

DO•AE，S_△BOC=

1

2

BO•CF，
S_△OAB=

1

2

OB•AE，S_△DOC=

1

2

OD•CF，
∴S_△AOD•S_△BOC=

1

4

OB•OD•AE•CF，
S_△OAB•S_△DOC=

1

4

BO•OD•AE•CF，
∴S_△AOD•S_△BOC=S_△OAB•S_△DOC．

點(diǎn)評(píng)：恰當(dāng)?shù)刈鞒鋈�角形的高，根�?jù)三角形的面積公式進(jìn)行證明．