Question

已知點(diǎn)P是x軸正半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PA交雙曲線y=

1

x

于點(diǎn)A，連接OA．

（1）如圖甲，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Rt△AOP的面積大小是否變化答：

 

（請(qǐng)?zhí)睢白兓�”或“不變化”�?BR>若不變，請(qǐng)求出Rt△AOP的面積=

 

；若改變，試說明理由（自行思索，不必作答）；
（2）如圖乙，在x軸上的點(diǎn)P的右側(cè)有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B，連接BO交AP于C，設(shè)△AOP的面積是S₁，梯形BCPD的面積為S₂，則S₁與S₂的大小關(guān)系是S₁

 

S₂（請(qǐng)?zhí)睢埃尽�、“＜”或�?”）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，S=

1

2

|k|，故Rt△AOP的面積．
（2）根據(jù)（1）中規(guī)律可知S_△AOP=S_△BOD，所以可求S_梯形BCPD＜S_△BOD．

解答：解：（1）由于點(diǎn)A位于反比例函數(shù)的圖象上，所以S_△AOP=

1

2

|k|=

1

2

．
故當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Rt△AOP的面積不變，值總等于

1

2

．

（2）由（1）知S_△AOP=S_△BOD，
而S_梯形BCPD＜S_△BOD，
所以S₁＞S₂．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=

1

2

|k|．