Question

15．若關(guān)于x的方程25x²-mx+12=0的兩根是Rt△ABC兩銳角的正弦值，求m的值．

Answer 1

分析 設(shè)Rt△ABC兩銳角為∠A、∠B，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到sinA+sinB=$\frac{m}{25}$，sinA•sinB=$\frac{12}{25}$，再利用三角函數(shù)之間的關(guān)系（sin²A+sin²B=1）得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（$\frac{m}{25}$）²-2×$\frac{12}{25}$=1，然后解方程求后利用sinA和sinB都是正數(shù)可確定m的值．

解答 解：設(shè)Rt△ABC兩銳角為∠A、∠B，
根據(jù)題意得sinA+sinB=$\frac{m}{25}$，sinA•sinB=$\frac{12}{25}$，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
∴（$\frac{m}{25}$）²-2×$\frac{12}{25}$=1，解得m₁=35，m₂=-35，
而sinA+sinB=$\frac{m}{25}$＞0，
∴m的值為35．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．