Question

如圖，已知梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，∠B=60°，AD=3，AB=5

3

，DC=4

3

，P是BC邊上一點(diǎn)（P與B不重合），過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AB于Q，設(shè)PB=x，四邊形AQPD的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值或最小值？其值等于多少？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作EF⊥AB交AB于E，交DC的延長線于F，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系在RtPBQ中得到QB=2PB=2x，在Rt△PBE中得到BE=

1

2

PB=

1

2

x，PE=

3

BE=

3

2

x，易得PF=EF-PE=3-

3

2

x，然后利用y=S_梯形ABCD-S_△PBQ-S_△PCD得到y(tǒng)=

1

2

（4

3

+5

3

）×3-

1

2

×

3

2

x•2x-

1

2

×4

3

×（3-

3

2

x），再整理即可；
（2）由（1）得到y(tǒng)=-

3

2

x²+3x+

15 3

2

，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題的公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作EF⊥AB交AB于E，交DC的延長線于F，如圖，
∵PQ⊥BC，
∴∠QPB=90°，
而∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴QB=2PB=2x，
在Rt△PBE中，∠BPE=30°，
∴BE=

1

2

PB=

1

2

x，
∴PE=

3

BE=

3

2

x，
∵DC∥AB，∠A=90°，AD=3，
∴EF=3，
∴PF=EF-PE=3-

3

2

x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△PBQ-S_△PCD
=

1

2

（4

3

+5

3

）×3-

1

2

×

3

2

x•2x-

1

2

×4

3

×（3-

3

2

x）
=-

3

2

x²+3x+

15 3

2

；
（2）∵a=-

3

2

＜0，
∴y有最大值，
當(dāng)x=-

3

2×(- 3 2 )

=

3

時(shí)，y_最大值=

4×(- 3 2 )× 15 3 2 -32

4×(- 3 2 )

=9

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用實(shí)際問題中的幾何關(guān)系得到二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最大（或最小值）問題．