Question

如圖：矩形OABC中A（4，0），C（0，3）．動點P從A→B→C以每秒1個單位的速度運動．記OP在矩形中掃過的面積為S，運動時間為t
探究：
（1）當(dāng)t為何值時，線段OP最長，是多少？
（2）S與t的函數(shù)關(guān)系？并指出是什么函數(shù)關(guān)系？
（3）當(dāng)t為何值時，S=9，此時OP在矩形中掃過的面積是一個什么幾何圖形？

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圖示知，當(dāng)點P與點B重合時，線段OP最長；
（2）分段函數(shù)：點P在線段AB上和點P在線段BC上兩段函數(shù)．在線段AB上時，S=S_△AOP；在線段BC上時，S=S_梯形OABP；
（3）把S=9代入（2）中的函數(shù)解析式，求得相應(yīng)的t的值，則推知點P所在的位置，根據(jù)點P的位置來推斷OP在矩形中掃過的面積是何種幾何圖形．

解答：解：如圖，∵四邊形OABC是矩形，A（4，0），C（0，3），
∴BC∥OA，OC=AB=3，OA=CB=4，∠OAB=∠ABC=90°．
（1）當(dāng)點P與點B重合時，OP的長度最大．此時t=3．
在Rt△OAP中，利用勾股定理得到：OP=OB=

OA2+AB2

=

42+32

=5，
綜上所述，當(dāng)t=3時，線段OP最長，為5；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點P在線段AB上時，S=

1

2

OA•AP=

1

2

×4×t=2t（0＜t≤3），該函數(shù)是正比例函數(shù)；
②當(dāng)點P在線段BC上時，S=S_梯形OABP=

t-3+4

2

×3=

3

2

t+

3

2

（3＜t≤7），該函數(shù)是一次函數(shù)．
綜上所述，
S=

2t(0＜t≤3)，正比例函數(shù)關(guān)系 3 2 t+ 3 2 (3＜t≤7)，一次函數(shù)關(guān)系

；

（3）∵由（2）知，當(dāng)點P在線段AB上時，S=2t（0＜t≤3），則S_最大=2×3=6．
∴當(dāng)S=9時，點P在線段BC上．
∴9=

3

2

t+

3

2

，
解得 t=5，
∴點P不與點C重合，即OP與AB不平行，且OP≠AB
又∵BC∥OA，∠OAB=∠ABP=90°．
∴四邊形OABP是直角梯形．

點評：本題考查了四邊形綜合題．涉及到了三角形的面積、梯形的面積的求法，矩形的性質(zhì)，列函數(shù)關(guān)系式以及直角梯形的判定方法．注意：在（3）中，推知四邊形OABP是直角梯形的過程中，必須先推知OP與AB不平行，且OP≠AB，以排除四邊形OABP是矩形和等腰梯形的情況．