Question

在平面直角坐標系中，將直線l：y=-

3

4

x-

3

2

沿x軸翻折，得到一條新直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將拋物線C₁：y=

2

3

x2沿x軸平移，得到一條新拋物線C₂與y軸交于點D，與直線AB交于點E、點F．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若線段DF∥x軸，求拋物線C₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點F在y軸右側(cè)，過F作FH⊥x軸于點G，與直線l交于點H，一條直線m（m不過△AFH的頂點）與AF交于點M，與FH交于點N，如果直線m既平分△AFH的面積，又平分△AFH的周長，求直線m的解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將直線y=-

3

4

x-

3

2

與x軸、y軸交點求出，沿x軸翻折，則直線y=-

3

4

x-

3

2

、直線AB交同一A點，與y軸的交點（0，-

3

2

）與點B關(guān)于x軸對稱，求出K和b；
（2）設(shè)平移后的拋物線C₂的頂點為P（h，0），則拋物線C₂解析式為：y=

2

3

(x-h)2，求出D點坐標，由DF∥x軸，又點F在直線AB上，解得h的值，就能拋物線C₂的解析式；
（3）過M作MT⊥FH于T，可證三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA，設(shè)FT=3k，TM=4k，F(xiàn)M=5k，求得FN，又由S△MNF=

1

2

S△AFH，求得k，故能求得直線m的解析式．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將直線y=-

3

4

x-

3

2

與x軸、y軸交點分別為（-2，0），（0，-

3

2

），
沿x軸翻折，則直線y=-

3

4

x-

3

2

、直線AB與x軸交于同一點（-2，0），
∴A（-2，0），
與y軸的交點（0，-

3

2

）與點B關(guān)于x軸對稱，
∴B（0，

3

2

），
∴

-2k+b=0 b= 3 2

，
解得k=

3

4

，b=

3

2

，
∴直線AB的解析式為y=

3

4

x+

3

2

；

（2）設(shè)平移后的拋物線C₂的頂點為P（h，0），

則拋物線C₂解析式為：y=

2

3

(x-h)2=

2

3

x2-

4

3

hx+

2

3

h2，
∴D（0，

2

3

h2），
∵DF∥x軸，
∴點F（2h，

2

3

h2），
又點F在直線AB上，
∴

2

3

h2=

3

4

•(2h)+

3

2

，
解得h₁=3，h2=

-3

4

，
∴拋物線C₂的解析式為y=

2

3

(x-3)2=

2

3

x2-4x+6或y=

2

3

x2+x+

3

8

；

（3）過M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
設(shè)FT=3k，TM=4k，F(xiàn)M=5k．
則FN=

1

2

(AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF=

1

2

FN•MT=

(16-5k)4k

2

．
∵S△AFH=

1

2

FH•AG=

1

2

×12×8=48，
又S△MNF=

1

2

S△AFH．
∴

(16-5k)4k

2

=24．
解得k=

6

5

或k=2（舍去）．
∴FM=6，F(xiàn)T=

18

5

，MT=

24

5

，GN=4，TG=

12

5

．
∴M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4）．
∴直線MN的解析式為：y=-

4

3

x+4．

點評：本題二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有求直線的解析式和拋物線關(guān)系式，三角形相似等．