Question

如圖，拋物線y=a（x+1）（x-5）與x軸的交點(diǎn)為M，N．直線y=kx+b與x軸交于P（-2，0），與y軸交于C．若A，B兩點(diǎn)在直線y=kx+b上，且AO=BO=

2

，AO⊥BO．D為線段MN的中點(diǎn)，OH為Rt△OPC斜邊上的高．
（1）OH的長(zhǎng)度等于

 

；k=

 

，b=

 

；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線y=a（x+1）（x-5）上有一點(diǎn)E，滿足以D，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)（簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）；并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的每一個(gè)E點(diǎn)，直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB•PG＜10

2

，寫出探索過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）由已知在等腰直角三角形中解出OH的長(zhǎng)，因直線過(guò)頂點(diǎn)和OH長(zhǎng)等于點(diǎn)到直線距離，聯(lián)立方程求出k，b；
（2）思維要嚴(yán)密，分兩類情況：①若DN為等腰直角三角形的直角邊；②若DN為等腰直角三角形的斜邊．
根據(jù)相似的比例關(guān)系和幾何關(guān)系，作適合的輔助線，構(gòu)造垂直從而驗(yàn)證相似比例關(guān)系是否成立．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b過(guò)P（-2，0）?-2k+b=0…①
∵AO=BO=

2

，AO⊥BO?三角形AOB為等腰直角三角形，
AB=

OA2+OB2

=2?∠OAB=45°?OH=OA×sin45°=1，
∵OH=

|b|

1+k2

=1…②
由①②方程解得：k=

3

3

，b=

2 3

3

，OH=1．

（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使拋物線y=a（x+1）（x-5）上有一點(diǎn)E，滿足以D，N，E為頂點(diǎn)的三角形與等腰直角△AOB相似．
∴以D，N，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以DN為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以DN為斜邊的等腰直角三角形．
①若DN為等腰直角三角形的直角邊，則ED⊥DN．
在拋物線y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，則得：M（-1，0），N（5，0）．
∴D（2，0），
∴ED=DN=3．
∴E的坐標(biāo)為（2，3）．
把E（2，3）代入拋物線解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-

1

3

．
∴拋物線解析式為y=-

1

3

（x+1）（x-5）．
即y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

．

②若DN為等腰直角三角形的斜邊，
則DE⊥EN，DE=EN．
∴E的坐標(biāo)為（3.5，1.5）．
把E（3.5，1.5）代入拋物線解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-

2

9

．
∴拋物線解析式為y=-

2

9

（x+1）（x-5），
即y=-

2

9

x²+

8

9

x+

10

9

．
當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，在拋物線y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

上存在一點(diǎn)E（2，3）滿足條件，
如果此拋物線上還有滿足條件的E點(diǎn)，不妨設(shè)為E′點(diǎn)，那么只有可能△DE′N是以DN為斜邊的等腰直角三角形，
由此得E′（3.5，1.5），顯然E′不在拋物線．
y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

上，
因此拋物線y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

上沒(méi)有符合條件的其他的E點(diǎn)．
當(dāng)a=-

2

9

時(shí)，同理可得拋物線y=-

2

9

x²+

8

9

x+

10

9

上沒(méi)有符合條件的其他的E點(diǎn)．
當(dāng)E的坐標(biāo)為（2，3），對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

時(shí)，
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
∴∠GNP=∠PBO=45°．
又∵∠NPG=∠BPO，
∴△NPG∽△BPO．
∴

PG

PO

=

PN

PB

，
∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴總滿足PB•PG＜10

2

．
當(dāng)E的坐標(biāo)為（3.5，1.5），解得對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=-

2

9

x²+

8

9

x+

10

9

時(shí)，
同理可證得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴總滿足PB•PG＜10

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查在直角三角形中解題技巧，通過(guò)解方程組來(lái)求拋物線解析式，第二問(wèn)探究三角形相似問(wèn)題，考查思維的嚴(yán)密性，不要漏掉其它情況，學(xué)會(huì)分類討論．