Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點E，D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF，EF與AC交于點G．

（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OE，

∵OA=OE，

∴∠A=∠AEO，

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AEO+∠BEF=90°，

∴∠OEG=90°，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠EOD=60°，

∴∠EGO=30°，

∵AO=2，

∴OE=2，

∴EG=2 ，

∴陰影部分的面積= 2×2 ﹣ =2 ﹣ π．

【解析】（1）先觀察，再理性論證.EF與圓有公共點，可連結OE,證明OE與EF垂直，可證∠AEO+∠BEF=90°;（2）陰影部分面積較小，可采用作差法，轉化為直角三角形OEG面積減去扇形OED的面積即可.