Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD=BD．
（1）若∠ADC=15°，AD=2，則∠CBD=

 

度，CD的長是

 

；
（2）CD=

5

，求AC+BC的長．

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：計算題

分析：（1）連接AC，如圖1，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=∠ACB=90°，而AD=BD，則∠ABD=∠BAD=45°，由于∠ABC=∠ADC=15°，所以∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°；作DH⊥BC于H，如圖1，在Rt△BDH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BN=

1

2

BD=1，DN=

3

BN=

3

，然后利用∠BCD=∠BAD=45°得到△CDH為等腰直角三角形，所以CD=

2

DN=

6

；
（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如圖2，先證明Rt△DAM≌Rt△DBN得到BN=AM，DM=DN，再說明四邊形CNDM為正方形，則CN=CM，所以AC+BC=CM-AM+CN+BN=2CN，然后利用CD=

2

CN可計算AC+BC的值．

解答：解：（1）連接AC，如圖1，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∵∠ABC=∠ADC=15°，
∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°，
作DH⊥BC于H，如圖1，
∵BD=AD=2，
在Rt△BDH中，∵∠DBH=60°，
∴BN=

1

2

BD=1，
∴DN=

3

BN=

3

，
∵∠BCD=∠BAD=45°，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴CD=

2

DN=

6

．
故答案為60，

6

；
（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如圖2，
∵∠BCD=∠BAD=45°，∠ACD=∠ABD=45°，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DM=DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，

DM=DN DA=DB

，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN，
∴BN=AM，DM=DN，
而∠BCA=90°，
∴四邊形CNDM為正方形，
∴CN=CM，
∴AC+BC=CM-AM+CN+BN
=2CN，
而CD=

2

CN，
∴AC+BC=

2

CN=

2

×

5

=

10

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．