Question

（2012•永春縣質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD與等邊△EFG按如圖所示放置：點(diǎn)B、G與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，F(xiàn)、B、G、C在x軸上，AB=3cm，BC=4

3

cm，EF=2

3

cm．
（1）求△EFG的周長(zhǎng)；
（2）△EFG沿x軸向右以每秒

3

cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G移至與點(diǎn)C重合時(shí)，△EFG即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△EFG的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①若△EFG移動(dòng)過(guò)程中，與矩形ABCD的重合部分的面積Scm²，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)△EFG移動(dòng)（

3

+1）秒時(shí)，E點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)的位置，一開口向下的拋物線y=

1

a

x2+bx過(guò)P、O兩點(diǎn)且與射線AD相交于點(diǎn)H，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，若OQ+PH為定值，試求出定值，并求出相應(yīng)的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的周長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)的3倍列式計(jì)算即可得解；
（2）①分0≤t≤1時(shí)，重疊部分是三角形，用t表示出OG的長(zhǎng)度，再根據(jù)∠EGF的正切值表示出另一直角邊，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列式整理即可；1＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形，用t表示出OF的長(zhǎng)度，再根據(jù)∠EFG的正切值表示出另一直角邊，然后根據(jù)重疊部分的面積等于等邊△EFG的面積減去小直角三角形的面積，列式整理即可；2≤t≤4時(shí)，重疊部分是等邊△EFG的面積，列式計(jì)算即可；
②根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出EP，再求出AP的長(zhǎng)度，然后得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于a、b的等式，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求出另一點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再分點(diǎn)H在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，利用拋物線的對(duì)稱性表示出PH、OQ，然后相加，點(diǎn)H在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，表示出PH、OQ，然后相加，即可得知為定值的情況，再根據(jù)拋物線開口方向向下，PH≥0列式求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵EF=2

3

cm，
∴△EFG的周長(zhǎng)=3EF=3×2

3

=6

3

cm；

（2）如圖1，①0≤t≤1時(shí)，S=

1

2

3

t•（

3

×

3

t）=

3 3

2

t²，
1＜t≤2時(shí)，△EFG沒進(jìn)入矩形的三角形的面積為，
S_△=

1

2

•（2

3

-

3

t）•

3

（2

3

-

3

t），
=

3 3

2

（2-t）²，
所以，重疊部分的面積為：S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）-

3 3

2

（2-t）²，
=3

3

-

3 3

2

（2-t）²，
2≤t≤4時(shí)，S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

），
=3

3

；

②∵△EFG移動(dòng)（

3

+1）秒，速度為每秒

3

cm，
∴EP=

3

（

3

+1）=3+

3

，
∴AP=3+

3

-

3

=3，
∴點(diǎn)P（3，3），
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴ab=a-3，
∵拋物線y=

1

a

x²+bx的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2× 1 a

=-

ab

2

，
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-ab，0），
拋物線開口向下，a＜0，P、H關(guān)于x=-

ab

2

對(duì)稱，
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，
PH=2（-

ab

2

-3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此時(shí)OQ+PH不是定值，舍去；
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，
PH=2（3+

ab

2

）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值為6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得，a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
綜上，OQ+PH的定值為6，此時(shí)相應(yīng)的a的取值范圍是-3≤a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積，用規(guī)則圖形的面積表示不規(guī)則圖形的面積的方法，以及拋物線的對(duì)稱軸與對(duì)稱性，（2）要根據(jù)重疊部分的形狀不同分段求解，（3）要分點(diǎn)H在點(diǎn)P的左、右兩側(cè)兩種情況討論．