Question

如圖，已知拋物線y=-

1

2

x2+bx+c圖象經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若C（m，m-1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，D是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②連接EF，線段EF的長是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）把C（m，m-1）代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2求得點C的坐標，從而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根據(jù)

AH

CH

=

CH

BH

=2，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根據(jù)相似三角形的對應角相等求得∠ACH=∠CBH，因為∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°從而求得∠ACB=90°，先根據(jù)有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形求得四邊形DECF是平行四邊形，進而求得□DECF是矩形；
（3）根據(jù)矩形的對角線相等，求得EF=CD，因為當CD⊥AB時，CD的值最小，此時CD的值為2，所以EF的最小值是2；

解答：（1）∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+c圖象經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點，
∴根據(jù)題意，得

0=- 1 2 -b+c 0=-8+4b+c

，
解得  

b= 3 2 c=2

，
所以拋物線的解析式為：y=-

1

2

x2+

3

2

x+2；

（2）①證明：∵把C（m，m-1）代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2得
∴m-1=-

1

2

m2+

3

2

m+2，
解得：m=3或m=-2，
∵C（m，m-1）位于第一象限，
∴

m＞0 m-1＞0

，
∴m＞1，
∴m=-2舍去，
∴m=3，
∴點C坐標為（3，2），
過C點作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC=∠BHC=90°，
由A（-1，0）、B（4，0）、C（3，2）得  AH=4，CH=2，BH=1，AB=5
∵

AH

CH

=

CH

BH

=2，∠AHC=∠BHC=90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH=90°
∴∠ACH+∠BCH=90°
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴?DECF是矩形；

②存在；
連接CD
∵四邊形DECF是矩形，
∴EF=CD，
當CD⊥AB時，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2；

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線上點的坐標的求法，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等，本題是二次函數(shù)的綜合性題，其難點是三角形相似的判定：兩組對應邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；