Question

如圖，直線y₁=k₁x-1與x軸正半軸交于點(diǎn)A（2，0），以O(shè)A為邊在x軸上方作正方形OABC，延長CB交直線y₁于點(diǎn)D，延長AB交直線y₂=3x于F，過點(diǎn)F作EF平行BD交直線OB于E，連結(jié)DE．
（1）求點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）試判斷BFED是什么特殊四邊形并證明？
（3）若y₁-y₂＞0，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)A代入直線y₁=k₁x-1求得該函數(shù)解析式；因?yàn)樗倪呅蜲ABC是正方形，所以O(shè)A=OB=2，結(jié)合已知條件“延長CB交直線y₁于點(diǎn)D”知點(diǎn)B、D的縱坐標(biāo)相等，所以把點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入該函數(shù)解析式即可求得相應(yīng)的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；依題意知點(diǎn)A、F的橫坐標(biāo)相同，則把x=2代入直線y₂=3x即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）四邊形BFED是正方形．易求直線OB的解析式為y=x．則E（6，6），又B（2，2），D（6，2），故BF=EF=ED=BD=4，所以由“由兩組對(duì)邊相等的四邊形為菱形”判定四邊形BFED是菱形；再根據(jù)“又一內(nèi)角為直角的菱形是正方形”推知四邊形BFED是正方形；
（3）根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式，通過解不等式來求x的取值范圍．

解答：解：（1）∵直線y₁=k₁x-1與x軸正半軸交于點(diǎn)A（2，0），
∴0=2k₁-1，
解得，k₁=

1

2

，
∴直線y₁的解析式為：y₁=

1

2

x-1．
∵在正方形OABC中，CB∥OA，AB⊥OA，OA=AB=CB=2，
∴B（2，2）．
把y=2代入y₁=

1

2

x-1，得
2=

1

2

x-1，
解得x=6，
∴D（6，2）．
把x=2代入y₂=3x，得
y₂=6，
∴F（2，6）；

（2）四邊形BFED是正方形．理由如下：
易求直線OB的解析式為y=x．
∵F（2，6），EF平行BD交直線OB于E，
∴把y=6代入直線y=x 得x=6，
∴E（6，6）
又∵B（2，2），D（6，2），
∴BF=EF=ED=BD=4，
∴四邊形BFED是菱形．
又BF⊥BD，
∴四邊形BFED是正方形；

（3）依題意，得

1

2

x-1-3x＞0，
整理 得-5x-2＞0，
解得，x＜-

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題要以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0）為突破口，求與之相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得其它點(diǎn)的坐標(biāo)，從而證得四邊形BFED是正方形．