Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD、BE相交于點O，若△AOB的面積為S，則四邊形ABDE的面積為（　�。�

• A． 2S
• B． 1.5S
• C． 1.2S
• D． 1.8S

Answer 1

分析 在AB上分別截取AF=AE，BG=BD，連結(jié)OF、OG、EF，EF交AO于M，作FH⊥OG于H，如圖，先證明△AEO≌△AFO得到S_△AEO=S_△AFO，同理可得S_△BDO=S_△BGO，再利用AD平分∠CAB，BE平分∠CBA得到∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CAB+$\frac{1}{2}$∠CBA=45°，由于△AEO≌△AFO得到OE=OF，∠EOA=∠FOA=45°，于是得到∠EOF=90°，△OEF為等腰直角三角形，OM⊥EF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OM=EM=MF，同理可得∠DOG=90°，所以四邊形OMFH為正方形，所以FH=OM=EM，利用三角形面積公式得到S_△OFG=S_△OED，于是得到四邊形ABDE的面積=2S_△AOB=2S．

解答 解：在AB上分別截取AF=AE，BG=BD，連結(jié)OF、OG、EF，EF交AO于M，作FH⊥OG于H，如圖，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO，
∴S_△AEO=S_△AFO，
同理可得S_△BDO=S_△BGO，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CAB+$\frac{1}{2}$∠CBA=45°，
∵△AEO≌△AFO，
∴OE=OF，∠EOA=∠FOA=45°，
∴∠EOF=90°，△OEF為等腰直角三角形，
∴OM⊥EF，
∴OM=EM=MF，
同理可得∠DOG=90°，
∴四邊形OMFH為正方形，
∴FH=OM=EM，
∵S_△OFG=$\frac{1}{2}$FH•OG，S_△OED=$\frac{1}{2}$•OD•EM，
∴S_△OFG=S_△OED，
∴四邊形ABDE的面積=2S_△AOB=2S．
故選A．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．解決本題的關(guān)鍵是把△AOB分成三個三角形，分別證明S_△AEO=S_△AFO，S_△BDO=S_△BGO，S_△OFG=S_△OED．