Question

已知，，是的平分線，點(diǎn)在上，．將三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)處，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線交于點(diǎn)，另一條直角邊與直線、直線分別交于點(diǎn)、點(diǎn)．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，
①求證： ；
②設(shè)，，求與的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域；
（2）連結(jié)，當(dāng)△與△似時(shí)，求的長．

Answer 1

（1）①證明見解析②（2）

（1）
證明：①過點(diǎn)作，，垂足分別為、．
∵是的平分線，
∴．
由，得．
∴．
∵，
∴．
∴△≌△．                       （3分）
∴．
解：②∵，
∴．
∵△≌△，
∴．
∴．                                                          （2分）
∵∥，
∴．
∴．                                                         （2分）
∴                                             （2分）
解：（2）當(dāng)△與△相似時(shí)，點(diǎn)的位置有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，
∵，，
∴．
∴．
∴．
在Rt△中，．                               （2分）
②當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
易證，可得．
∴．
∴．
易證△≌△，
可得．
∵∥，
∴．
∴．
∴．                                                    （2分）
（1）①過點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，有已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x的函數(shù)解析式，再寫出其自變量的取值范圍即可；
（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，點(diǎn)F的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長線上時(shí)，分別討論求出滿足題意的EG長即可．