Question

7．如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O得切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點，就可得出結(jié)論BF=EF．
（2）要證PA是⊙O的切線，就要證明∠PAO=90°，連接AO，AB，根據(jù)（1）的結(jié)論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{CF}{CG}$，$\frac{EF}{AG}$=$\frac{CF}{CG}$，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{EF}{AG}$，
∵G是AD的中點，
∴DG=AG，
∴BF=EF．
（2）連結(jié)AO，AB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜邊BE的中點，
∴AF=FB=EF，
∴∠FBA=∠FAB  
 又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是⊙O的切線，
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴PA是⊙O的切線．

點評 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．