Question

16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求弧BD的長及圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）在△OCE中，利用三角函數即可求得CE，OE的長，再根據垂徑定理即可求得CD的長；
（2）根據弧長公式即可得到弧BD的長，根據半圓的面積減去△ABC的面積，即可得到陰影部分的面積．

解答 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\sqrt{3}$，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=2$\sqrt{3}$；

（2）∵CD⊥AB，
∴$\widehat{BD}=\widehat{BC}$，
∵∠EOC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BD的長=$\frac{120•2π×2}{360}$=$\frac{4π}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•EC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=$\frac{1}{2}π×{2}^{2}-2\sqrt{3}$=2π-2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理以及三角函數，弧長的計算，一些不規(guī)則的圖形的面積可以轉化為規(guī)則圖形的面積的和或差求解．