Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF，DF，BE，CE，AF與BE交于G，DF與CE交于H．求證：四邊形EGFH為菱形

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析: 根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形式平行四邊形,可證明四邊形AECF,BEDF是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得GF與EH,EG與FH的關(guān)系,根據(jù)平行四邊形的判定,可得EGFH的形狀,根據(jù)三角形全等,可得EG與FG的關(guān)系,根據(jù)菱形的定義,可得證明結(jié)論．

試題解析:∵在矩形ABCD中AD=BC,且E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),

∴AE=DE=BF=CF,

又∵AD∥BC,

∴四邊形AECF,BEDF是平行四邊形,

∴GF∥EH,EG∥FH,

∴四邊形EGFH是平行四邊形,

在△AEG和△FBG中,,

∴△AEG≌△FBG（AAS）,

∴EG=GB,AG=GF,

在△ABE和△BAF中,

∵

∴△ABE≌△BAF（SAS）,

∴AF=BE,

∵EG=GB=BE,AG=GF=AF,

∴EG=GF,

∴四邊形EGFH是菱形.