Question

如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B＞∠A,點D為邊AB的中點,DE∥BC交AC于點E,CF∥AB交DE的延長線于點F.

(1)求證:DE=EF;

(2)連接CD,過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G,求證:∠B=∠A+∠DGC.

Answer 1

分析：本題考查了三角形的中位線、全等三角形、直角三角形的性質以及三角形的外角和定理.(1)要證明DE=EF,先證△ADE≌△CFE.(2)CD是Rt△ABC斜邊上的中線,

∴ CDAD,∴ ∠1=∠A.而∠1+∠3=90°,∠A+∠B=90°,可得∠B=∠3.由CF∥AB可得∠2=∠A,要證∠B=∠A+∠DGC,只需證明∠3=∠2+∠DGC.

證明：(1)∵ 點D為邊AB的中點（如圖）,DE∥BC,∴ AE=EC.

∵ CF∥AB,∴ ∠A=∠2.

在△ADE和△CFE中,∴ △ADE≌△CFE(ASA),∴ DE=EF.

(2)在Rt△ACB中,∵ ∠ACB=90°,點D為邊AB的中點,∴ CD=AD,∴ ∠1=∠A.

∵ DG⊥DC,∴ ∠1+∠3=90°.又∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠3.

∵ CF∥AB,∴ ∠2=∠A.∵ ∠3=∠2+∠DGC,∴ ∠B=∠A+∠DGC.

點撥：證明兩個角相等的常用方法：①等腰三角形的底角相等；②全等(相似)三角形的對應角相等；③兩直線平行，同位角（內錯角）相等；④角的平分線的性質；⑤同角（或等角）的余角（或補角）相等；⑥對頂角相等；⑦借助第三個角進行等量代換．