Question

已知：0＜a＜b＜c，實數(shù)x、y滿足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求證：0＜x＜a，b＜y＜c．

Answer 1

證明：∵2x+2y=a+b+c，2xy=ac，
∴x+y=，xy=，
∴x，y可看作方程t²-t+=0的兩實根，
設(shè)函數(shù)S=t²-（a+b+c）t+ac，
①當(dāng)t=0時，S=ac＞0；
②當(dāng)t=a時，S=a²-•a+=a（a-b），
而0＜a＜b，
∴S=a（a-b）＜0；
③當(dāng)t=b時，S=b²-（a+b+c）b+ac=（b-a）（b-c），
∵0＜a＜b＜c，
∴S=（b-a）（b-c）＜0，
④當(dāng)t=c時，S=c（c-b）＞0，
可知函數(shù)S=t²-（a+b+c）t+ac的圖象與t軸的兩個交點分別在0，a和b，c之間，如圖，
∴方程t²-t+=0的兩根分別在0，a之間的和b，c之間，
即0＜x＜a，b＜y＜c．
分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到x，y可看作方程t²-t+=0的兩實根，然后設(shè)函數(shù)S=t²-（a+b+c）t+ac，建立二次函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)自變量分別為0、a、b、c時求出對應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)0＜a＜b＜c可判斷這些函數(shù)值的正負(fù)，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想可畫出函數(shù)的大致圖象，可得到拋物線與x軸的交點的大致位置，從而得到結(jié)論．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：建立二次函數(shù)的關(guān)系，通過二次函數(shù)的性質(zhì)和幾個點的坐標(biāo)大致畫出拋物線，然后利用二次函數(shù)的圖象確定拋物線與x軸的交點的大致位置．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的運用．