Question

如圖，在中，∠ACB=90°，AC=BC，E為BC邊的中點，過點B作BD⊥AB交AE的延長線于點D，CG平分∠ACB交AD于點G，CF⊥AD交AB于F，求證：BF=CG；CF=2DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）要證AF=CG，只需證明△BFC≌△ACG即可．
（2）延長CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE．

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBF=∠ACG=45°，
∴∠BCF=∠BCG，
∵∠BCF+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAG=90°，
∴∠BCF=∠CAG，
在△BFC與△ACG中，

∠BCF=∠CAG BC=AC ∠CBF=∠ACG

，
∴△BFC≌△ACG（ASA），
∴AF=CG；
（2）延長CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵BD⊥AB，
∴BD∥CG，
在△BDE與△CGE中，

∠BED=∠CEG ∠D=∠EGC AE=CE

，
∴△BDE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=AG，
∵△BFC≌△ACG，
∴CF=AG，
∴CF=2DE．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關鍵．