【題目】如圖,甲、乙兩人在道路的兩邊相向而行,當甲、乙兩人分別行至點A、C時,測得乙在甲的北偏東60°方向上.乙留在原地休息,甲繼續(xù)向前走了40米到B處,此時測得乙在其北偏東30°方向上.求道路的寬(參考數(shù)據(jù):)
【答案】道路的寬約為34.64米.
【解析】
過C作AB的垂線,設垂足為D.易知∠BAC=30°,∠PBD=60°.∠BCA=∠BAC=30°,得CB=AB=40米;在Rt△BCD中,可用正弦函數(shù)求出DC的長.
過點C作CD⊥AB于點D,則CD的長即為道路的寬.
由題意得∠CAD=30°,∠CBD=60°.
∵∠CBD是△ACB的一個外角,
∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°.
∴∠CAB=∠ACB,
故AB=PB=40(m).
在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=60°,CB=40m,
∴CD=CBsin60°=40×=20≈34.64(米).
∴道路的寬約為34.64米.
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【題目】閱讀下列材料,并回答問題:
如果兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相同,個位數(shù)字相加為10,那么能立即說出這兩個兩位數(shù)的乘積,如果這兩個兩位數(shù)分別寫作和(即十位數(shù)字為,個位數(shù)字分別為、,,),那么它們的乘積是一個4位數(shù),前兩位數(shù)字是和的乘積,后兩位數(shù)字就是和的乘積,如:,.
(1)________;
(2)設這兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字為,個位數(shù)字分別為和,,通過計算驗證這兩個兩位數(shù)的乘積為.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側作△ADE,使AD=AE,∠DAE =∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=________度;
(2)設,.
①如圖2,當點在線段BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關系?請說明理由;
②當點在直線BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出你的結論.
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【題目】已知:,OB、OM、ON,是 內(nèi)的射線.
(1)如圖 1,若 OM 平分 , ON平分.當射線OB 繞點O 在 內(nèi)旋轉時,= 度.
(2)OC也是內(nèi)的射線,如圖2,若 ,OM平分,ON平分,當射線OB繞點O在內(nèi)旋轉時,求的大小.
(3)在(2)的條件下,當射線OB從邊OA開始繞O點以每秒的速度逆時針旋轉t秒,如圖3,若,求t的值.
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【題目】1.概念學習.已知,點為其內(nèi)部一點,連接、、,在、、中,如果存在一個三角形,其內(nèi)角與的三個內(nèi)角分別相等,那么就稱點為的等角點.
2.理解應用
(1)判斷以下兩個命題是否為真今題,若為真令題,則在相應橫線內(nèi)寫“真命題”;反之,則寫“假命題”.
①內(nèi)角分別為、、的三角形存在等角點; ;
②任意的三角形都存在等角點; ;
(2)如圖①,點是銳角的等角點,若,探究圖①中,、、之間的數(shù)量關系,并說明理由.
3.解決問題
如圖②,在中,,若的三個內(nèi)角的角平分線的交點是該三角形的等角點,求三角形三個內(nèi)角的度數(shù).
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【題目】在求1+2+22+23+24+25+26的值時,小明發(fā)現(xiàn):從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的2倍,于是他設:S=1+2+22+23+24+25+26 為①式,然后在①式的兩邊都乘以2,得:2S=2+22+23+24+25+26+27 為②式;②﹣ ①得2S﹣S=27﹣1,S=27﹣1,即1+2+22+23+24+25+26=27﹣1.
(1)求1+3+32+33+34+35+36的值;
(2)求1+a+a2+a3+…+a2016(a≠0且a≠1)的值.
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【題目】如果一個四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字,且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和,個位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差,則我們稱這個四位數(shù)為親密數(shù),例如:自然數(shù)4312,其中3>1,4=3+1,2=3-1,所以4312是親密數(shù);
(1)最小的親密數(shù)是 ,最大的親密數(shù)是 ;
(2)若把一個親密數(shù)的千位數(shù)字與個位數(shù)字交換,得到的新數(shù)叫做這個親密數(shù)的友誼數(shù),請證明任意一個親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除;
(3)若一個親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除,請求出這個親密數(shù).
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【題目】如圖 ,CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.
(1)請判斷 AB 與 CD 的位置關系,并說明理由;
(2)如圖,在(1)的結論下,當∠E=90°保持不變時,移動直角頂點 E,使∠MCE=∠ECD, 當直角頂點 E 點移動時,請確定∠BAE 與∠MCD 的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)如圖,在(1)的結論下,P 為線段 AC 上的一個定點,點 Q 為直線 CD 上的一個動點,當點 Q 在射線 CD 上運動時(點 C 除外)∠BAC 與∠CPQ+∠CQP 有何數(shù)量關系?為什么?
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