Question

20．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF．
（1）試說明：DE=DF；
（2）在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論；
（3）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？（只寫結(jié)果不要證明）．

Answer 1

分析 （1）首先判斷出∠C=∠DBF，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△CDE≌△BDF，即可判斷出DE=DF．
（2）猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABD≌△ACD，即可判斷出∠BDA=∠CDA=60°；然后根據(jù)∠EDG=60°，可得∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，再根據(jù)∠CDE=∠BDF，判斷出∠EDG=∠FDG，據(jù)此推得△DEG≌△DFG，所以EG=FG，最后根據(jù)CE=BF，判斷出CE+BG=EG即可．
（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使CE+BG=EG仍然成立，則∠EDG=∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB，即∠EDG=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，據(jù)此解答即可．

解答 （1）證明：
∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠C=∠DBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$（SAS）
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF．

（2）解：如圖1，連接AD，
猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG．
證明：在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$（SSS）
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDG+∠BDF=60°，
即∠FDG=60°，
∴∠EDG=∠FDG，
在△DEG和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDG=∠FDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△DFG，
∴EG=FG，
又∵CE=BF，F(xiàn)G=BF+BG，
∴CE+BG=EG；

（3）解：要使CE+BG=EG仍然成立，
則∠EDG=∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB，
即∠EDG=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴當(dāng)∠EDG=90°-$\frac{1}{2}$α?xí)r，CE+BG=EG仍然成立．

點(diǎn)評 本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．