Question

在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P為斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），PC=xcm，以點(diǎn)P為中心把△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF．
①當(dāng)點(diǎn)P在如圖所示的位置時(shí)，DF交AC、BC分別于點(diǎn)N、Q，EF交AC于點(diǎn)M，求MF的長(zhǎng)；
②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為ycm²，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锳BC為直角三角形，由兩條邊的長(zhǎng)結(jié)合勾股定理求解即可．
（2）①由條件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根據(jù)比例關(guān)系求出MP的長(zhǎng)，即可得出FM的長(zhǎng)．
②先根據(jù)題意結(jié)合圖形求出x的取值范圍，得出當(dāng)x=時(shí)為分界點(diǎn)，當(dāng)x在不同區(qū)間時(shí)，面積有不同的求解方法，分不同的區(qū)間求解即可．
解答：解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴根據(jù)勾股定理得BC=5cm．

（2）①∵繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°
又∠C=∠C，
∴△PMC∽△ABC，
∴=，
∴MP=，
∵PC=PM=x，
∴FM=．
②當(dāng)A與N重合時(shí)．
由PC=x可得MC=，AM=4-
△FNM∽△CPM，
解得x=；
當(dāng)A與M重合時(shí)，容易求得x=，
i）當(dāng)0＜x≤時(shí)
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM=；
ii）當(dāng)＜x≤時(shí)
y=S_△ABC-S_△CPM=6-；
iii）當(dāng)＜x＜5時(shí)，
y=S_△MPB=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用，解題時(shí)要注意結(jié)合圖形，分情況解題，不要漏掉一種情況．