Question

20．如圖，等邊△ABC中，點D在邊AB上，E在CB的延長線上，已知CD=ED，M是CD中點，AM=2$\sqrt{2}$，則AE=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于只告訴了AM的長度，說明AE的長度與AM必然有密切關(guān)系，通過觀察，猜想它們有二倍關(guān)系，又由于M是中點，于是延長AM至F，使MF=AM，連接CF、EM、EF、DF，DF交BC于H，則只需說明三角形AEF是等邊三角形即可，容易得到CF=CH=AD，于易證△ABE≌△ACF，然后可輕松得出三角形AEF是等邊三角形的結(jié)論，答案不言而喻．

解答 解：延長AM至F，使MF=AM，連接CF、EM、EF、DF，DF交BC于H，如圖，

∵DM=CM，
∴ACFD是平行四邊形，
∴CF=AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD=CH，
∴△DBH是等邊三角形，
∴DB=DH=BH，∠DBH=∠DHB=60°，
∴∠DBE=∠DHC=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEB=∠DCH，
∴△DBE≌△DHC，
∴BE=CH=CF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE=AF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAF=∠BAC=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EM⊥AM，
∴AE=2AM=4$\sqrt{2}$，
故答案為4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點，難度較大．本題看似簡單，卻不好下手，在這種情況，抓住“題眼”是關(guān)鍵，本題的“題眼”就是“中點”，因此，熟悉“中點”的用法就特別重要．