Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的菱形，頂點(diǎn)A．C．D均在坐標(biāo)軸上，sinB=．

（1）求過(guò)A，C，D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

（2）記直線(xiàn)AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線(xiàn)的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1>y2時(shí)，自變量x的取值范圍；

（3）設(shè)直線(xiàn)AB與（1）中拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線(xiàn)上A，E兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)PE交x軸于點(diǎn)F，問(wèn)：當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）x＜-2或x＞5；（3）當(dāng)P(，)時(shí)，△PAE的面積最大，最大面積為

【解析】

（1）由菱形ABCD的邊長(zhǎng)和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)待定系數(shù)法可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）首先由A、B的坐標(biāo)確定直線(xiàn)AB的解析式，然后求出直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)解析式的兩個(gè)交點(diǎn)，然后通過(guò)觀(guān)察圖象找出直線(xiàn)y1在拋物線(xiàn)y2圖象下方的部分．
（3）該題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置，△APE的面積最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即點(diǎn)P離直線(xiàn)AE的距離最遠(yuǎn)，那么點(diǎn)P為與直線(xiàn)AB平行且與拋物線(xiàn)有且僅有的唯一交點(diǎn)．

解：（1）∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=；

∴拋物線(xiàn)：y=﹣x2+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直線(xiàn)AB：y1=﹣x﹣；

由（1）得：y2=﹣x2+x+4，則：

，解得：，；

由圖可知：當(dāng)y1>y2時(shí)，x&l;-2或x>5．

（3）∵S△APE=AEh，∴當(dāng)P到直線(xiàn)AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，S△ABE最大；

若設(shè)直線(xiàn)L∥AB，則直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)即為點(diǎn)P；

設(shè)直線(xiàn)L：y=﹣x+b，當(dāng)直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；求得：b=，即直線(xiàn)L：y=﹣x+；

可得點(diǎn)P（，）．由（2）得：E（5，﹣），則直線(xiàn)PE：y=﹣x+9；

PE與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），AF=OA+OF=；

∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．

綜上所述，當(dāng)P（，）時(shí)，△PAE的面積最大，最大面積為．