Question

如圖，已知直線(xiàn)l₁∥l₂，l₃、l₄和l₁、l₂分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P在直線(xiàn)l₃或l₄上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：∠3=∠1+∠2；
（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；
（3）若點(diǎn)P在圖（3）位置時(shí)，寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；
（4）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．

Answer 1

解：（1）證明：過(guò)P作PQ∥l₁∥l₂，
由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．

（2）∠3=∠2-∠1；
證明：過(guò)P作直線(xiàn)PQ∥l₁∥l₂，
則：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF-∠QPE，
∴∠3=∠2-∠1．


（3）∠3=360°-∠1-∠2．
證明：過(guò)P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°-∠1-∠2．

（4）過(guò)P作PQ∥l₁∥l₂；
①當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，
同（2）可證：∠3=∠DFP-∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0，
即∠3=∠1-∠2．
②當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，
∠3=∠2-∠1，解法同上．
綜上可知：當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，∠3=∠1-∠2，當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，∠3=∠2-∠1．
分析：此題四個(gè)小題的解題思路是一致的，過(guò)P作直線(xiàn)l₁、l₂的平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到和∠1、∠2相等的角，然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關(guān)系，來(lái)得出∠1、∠2、∠3的數(shù)量關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)，能夠正確地作出輔助線(xiàn)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．