Question

如圖，將邊長為6的正方形ABCO放置在直角坐標系中，使點A在x軸負半軸上，點C在y軸正半軸上．點M（t，0）在x軸上運動，過A作直線MC的垂線交y軸于點N．
（1）當t=2時，tan∠NAO=______；
（2）在直角坐標系中，取定點P（3，8），則在點M運動過程中，當以M、N、C、P為頂點的四邊形是梯形時，點M的坐標為______．

Answer 1

解：（1）∵AN⊥CM，
∴∠CMO+∠NAO=90°，
∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠ANO=∠CMO，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴OA=OC，
在△AON和△COM中，
∵，
∴△AON≌△COM（AAS），
∴ON=OM=2，
∴tan∠NAO===；

（2）①如圖①，當CN∥PM時，
∵P（3，8），
∴M₁（3，0）；
②如圖②，
當PN∥CM時，
則∠PNH=∠MCO，
過點P作PH⊥ON于H，
則∠PHN=∠MOC=90°，
則△PHN∽△MOC，
故，
設點M（a，0），則N（0，a）（a＞0），
則NH=a-8，PH=3，OC=6，OM=a，
故，
解得：a=4+；
故M₂（4+，0）；
如圖③，當CM∥PN時，
則∠PNH=∠CMO，
過點P作PH⊥ON于H，
則∠PHN=∠COM=90°，
則△PHN∽△COM，
故，
設點M（-b，0），則N（0，-b）（b＞0），
則NH=3，PH=8+b，OC=6，OM=b，
則，
解得：b=-4；
故M₂（4-，0）．
故點M的坐標為（3，0）或（4+，0）或（4-，0）．
故答案為：（1）；（2）（3，0）或（4+，0）或（4-，0）．
分析：（1）首先根據題意易證得△AON≌△COM，即可得ON=OM，然后在Rt△AON中，求得tan∠NAO的值；
（2）分別從CN∥PM與PN∥CM（當M在x軸正半軸與負半軸）時，去分析求解，注意利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
點評：此題考查了正方形的性質、梯形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數的定義等知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．