Question

已知如圖：△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B、D．設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，則FC（AC+EC）=

8

．

Answer 1

分析：條件得知△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，根據(jù)條件求出拋物線的解析式為y=x²-2x+1，設(shè)Q（x，x²-2x+1），過Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長(zhǎng)，而AC=m，代入即可．

解答：解：∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m-3）．
又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)B、D，
所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
得：

a(3-1)2=m a(0-1)2=m-3

，
解得：

a=1 m=4

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；
過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x²-2x+1），
則QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
∴

(x-1)2

EC

=

x-1

2

，
∴EC=2（x-1）．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
∴

3-x

FC

=

4-(x-1)2

4

，
∴FC=

4

x+1

，
∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

x+1

[4+2（x-1）]=

4

x+1

（2x+2）=

4

x+1

×2×（x+1）=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線解析式的求法，綜合運(yùn)用相似三角形的比求線段的長(zhǎng)度．