Question

17．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是$\widehat{BDC}$的中點，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線分別交于點F、E，且$\widehat{BF}$=$\widehat{AD}$．
（1）求證：△ADC∽△EBA；
（2）求證：AC²=$\frac{1}{2}$BC•CE；
（3）如果AB=2，EB•EC=9，求tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）欲證（1）△ADC∽△EBA，只要證明兩個角對應(yīng)相等就可以．可以轉(zhuǎn)化為證明$\widehat{BF}$=$\widehat{AD}$就可以；
（2）過A作AH⊥BC于H，根據(jù)射影定理就可以得到結(jié)論．
（3）A是$\widehat{BDC}$的中點，則AC=AB=2，根據(jù)AC²=$\frac{1}{2}$BC•CE得出BC•CE的值，再由△CAD∽△ABE就可以求出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵$\widehat{BF}$=$\widehat{AD}$，
∴∠DCA=∠BAE．
∴△ADC∽△EBA；

（2）證明：過A作AH⊥BC于H（如圖），
∵A是$\widehat{BDC}$的中點，
∴AB=AC，
又∵AH⊥BC于H，
∴HC=HB=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠CAE=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC=∠AHB=90°，
∴△ACH∽△AEC，
∴$\frac{AC}{HC}$=$\frac{CE}{AC}$，即AC²=HC•CE，
又∵BC=2CH，
∴AC²=CH•CE=$\frac{1}{2}$BC•CE；

（3）解：∵A是$\widehat{BDC}$中點，AB=2，
∴AC=AB=2．
∵EB•EC=9①
∵AC²=$\frac{1}{2}$BC•CE，
∴BC•CE=8②
聯(lián)立①②得：EC（EB+BC）=17．
∴EC²=17．
∵EC²=AC²+AE²，
∴AE=$\sqrt{17-{2}^{2}}$，
∵△CAD∽△ABE，
∴∠CAD=∠AEC．
∴tan∠CAD=tan∠AEC=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查的是圓的綜合題，涉及到弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．