Question

如圖，扇形OAB的半徑為4，圓心角∠AOB=90?，點(diǎn)C是

AB

上異于點(diǎn)A、B的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，作CE⊥OA于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，過(guò)O點(diǎn)作OF⊥DE于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段OD上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MF，過(guò)點(diǎn)F作NF⊥MF，交OA于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)tan∠MOF=

1

3

時(shí)，求

OM

NE

的值；
（2）設(shè)OM=x，ON=y，當(dāng)

OM

OD

=

1

2

時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CF，當(dāng)△ECF與△OFN相似時(shí)，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）在直角三角形中由OF²=DF•FE和tan∠MOF=

1

3

，得出DF=

1

3

OF，所以O(shè)F²=

1

3

OF•FE，即

OF

FE

=

1

3

，再由△OMF∽△ENF，得出

OM

NE

=

1

3

，
（2）連接MN，設(shè)OM=x，ON=y，△OFD是直角三角形，由已知得出OM=MD=MF=x，因?yàn)椤螹ON=∠MFN=90°，得出MN是∠ONE的角平分線，MN是OF的中垂線，求出∠NEF=∠NFE，
得出ON=NE=NF=y，在RT△DOE中，運(yùn)用勾股定理OD²+OE²=DE²，求得（2x）²+（2y）²=4²，即y²=4-x²（0＜x≤2），
（3）分兩種情況①由△ECF∽△OFN，得出

OF

ON

=

EC

EF

，利用△DOE的面積，

1

2

OE•OD=

1

2

DE•OF解得，OF=xy，求出EF，由（2）y²=4-x²得出

xy

y

=

2x

y2

解得，y=

2

，再求出x=

2

，所以O(shè)D=2x=2

2

②由△ECF∽△ONF，得OD=

4 3

3

．

解答：
解；（1）如圖1，∵∠AOB=90?，CE⊥OA，CD⊥OB，
∴四邊形ACDO是矩形，
∴DE=OC=4，
∵OF⊥DE，
∴OF²=DF•FE
∵tan∠MOF=

1

3

，
∴

DF

OF

=

1

3

，即DF=

1

3

OF，
∴OF²=

1

3

OF•FE，即

OF

FE

=

1

3

，
∵∠MFO+∠OFN=∠NFE+∠OFN=90°，
∴∠MFO=∠NFE，
∵∠MOF+∠ODE=∠NEF+∠ODE=90°，
∴∠MOF=∠NEF，
∴△OMF∽△ENF，
∴

OM

NE

=

OF

EF

=

1

3

，即

OM

NE

=

1

3

，
（2）如圖2，連接MN，

設(shè)OM=x，ON=y，
∵

OM

OD

=

1

2

，即OD=2OM，△OFD是直角三角形，
∴OM=MD=MF=x，
∵∠MON=∠MFN=90°，
∴MN是∠ONF的角平分線，
∴MN是OF的中垂線，
∴ON=NF，可得∠FON=∠NFO
∵∠FON+∠NEF=∠NFO+∠NFE，
∴∠NEF=∠NFE，
∴ON=NE=NF=y，
∵DE=OC=4，
在RT△DOE中，OD²+OE²=DE²
∴（2x）²+（2y）²=4²，即y²=4-x²（0＜x≤2），
（3）如圖3，

①∵△ECF∽△OFN
∴

OF

ON

=

EC

EF

，
利用△DOE的面積，

1

2

OE•OD=

1

2

DE•OF
∵OD=2x，OE=2y，DE=4，
∴

1

2

×2y×2x=

1

2

×4•OF，
解得，OF=xy，
∵OE=2y，
∴EF=

OE2-OF2

=

4y2-(xy)2

=y

4-x2

，
由（2）y²=4-x²
∴EF=y²，
∵CE=OD=2x，
∴

xy

y

=

2x

y2

解得，y=

2

，
代入x²+y²=4，得x=

2

，
∴OD=2x=2

2

．
②∵△ECF∽△ONF
∴

EC

ON

=

EF

OF

，
利用△DOE的面積，

1

2

OE•OD=

1

2

DE•OF
∵OD=2x，OE=2y，DE=4，
∴

1

2

×2y×2x=

1

2

×4•OF，
解得，OF=xy，
∵OE=2y，
∴EF=

OE2-OF2

=

4y2-(xy)2

=y

4-x2

，
由（2）y²=4-x²
∴EF=y²，
∵CE=OD=2x，
∴

2x

y

=

y2

xy

，
解得，y=

2

x，
代入x²+y²=4，得x=

2 3

3

，
∴OD=2x=

4 3

3

．
綜上所述OD的長(zhǎng)為2

2

或

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解本題關(guān)鍵是把圓的知識(shí)和相似三角形的知識(shí)相結(jié)合求解．