Question

如圖，已知y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)y=

1

2x

（x＞0）的點(diǎn)，PM⊥x軸交AB于E，PN⊥y軸交線(xiàn)段AB于F，連接OE，OF，求證：∠EOF=45°．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：證明題

分析：首先設(shè)P（a，b），由E和F都在直線(xiàn)y=-x+1上，可求得BE=

2

a，AF=

2

b，又由直線(xiàn)y=-x+1分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，可得△AOB為等腰直角三角形，易證得△AOF∽△BEO，即可得∠FOE=∠OBE=45°．

解答：證明：設(shè)P（a，b），
則OM=a，PM=b，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為b，
又∵E和F都在直線(xiàn)y=-x+1上，
∴點(diǎn)E（a，1-a），點(diǎn)F（1-b，b），
即OM=a，EM=1-a，ON=b，NF=1-b，
∵BE=

a2+(1-1+a)2

=

2

a，AF=

(1-1+b)2+b2

=

2

b，
∵直線(xiàn)y=-x+1分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），
∵OA=OB=1，且∠AOB=90°，
即△AOB為等腰直角三角形，
∴∠FAO=∠EBO=45°，
∵點(diǎn)P（a，b）是曲線(xiàn)y=

1

2x

上一點(diǎn)，
∴2ab=1，
即AF•BE=

2

a•

2

b=2ab=1，
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
又∵∠BOE=∠BOF+∠FOE，∠AFO=∠OBF+∠BOF，
∴∠FOE=∠OBE=45°．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．