Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過(guò)M作MP⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，如圖，
∴MN=BE，AN=AE，∠NAE=60°，
∴△ANE為等邊三角形，
∴AE=NE，
∴AE+EB+EC=MN+NE+EC，
當(dāng)AE+EB+EC取最小值時(shí)，折線MNEC成為線段，則MC=，
∵AB=AM，∠BAM=60°，
∴△ABM為等邊三角形，
∴∠MBC=150°，則∠PBM=30°，
在Rt△PMC中，設(shè)BC=x，PM=
所以
所以x=2，
∴BC=2，
即正方形的邊長(zhǎng)為2．
分析：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過(guò)M作MP⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得MN=BE，AN=AE，∠NAE=60°，則△ANE為等邊三角形，得AE=NE，所以AE+EB+EC=MN+NE+EC，當(dāng)AE+EB+EC取最小值時(shí)，折線MNEC成為線段，則MC=，易得△ABM為等邊三角形，則∠MBC=150°，則∠PBM=30°，在Rt△PMC中，設(shè)BC=x，PM=，然后利用勾股定理即可求出x．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短．