Question

8．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，1），過點(diǎn)A的直線l的表達(dá)式為y=2x+b，點(diǎn)C在直線l上運(yùn)動(dòng)，在直線OA上是否存在一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 由兩直線圖象均過點(diǎn)A，可得出直線OA和直線l的表達(dá)式，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)（m，n）．以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分成兩種情況，①以線段AB為對(duì)角線，此時(shí)利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②以線段AB為邊，又要分CD在AB上或下方考慮，由平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)比相等可得出結(jié)論．

解答 解：假設(shè)存在，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），直線OA解析式為y=kx．
∵點(diǎn)A（2，1）在直線OA上，
∴1=2k，解得：k=$\frac{1}{2}$．
即直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
∵D點(diǎn)在直線OA上，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m）．
∵點(diǎn)A（2，1）在直線l上，
∴1=4+b，解得：b=-3．
使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：
①以線段AB為對(duì)角線，如圖1，令線段AB的中點(diǎn)為M．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，1），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{7}{2}$，1）．
∵四邊形ACBD為平行四邊形，點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（7-m，2-$\frac{1}{2}$m）．
又∵點(diǎn)C在直線l上，
∴有2-$\frac{1}{2}$m=2×（7-m）-3，解得：m=6．
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3）．
②以線段AB為邊，當(dāng)C、D均在直線AB上方時(shí)，如圖2．

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m-3，$\frac{1}{2}$m）．
∵點(diǎn)C在直線l上，
∴有$\frac{1}{2}$m=2×（m-3）-3，解得：m=6．
此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，3）．
當(dāng)C、D均在直線AB下方時(shí)，如圖3．

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+3，$\frac{1}{2}$m）．
∵點(diǎn)C在直線l上，
∴有$\frac{1}{2}$m=2×（m+3）-3，解得：m=-2．
此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-1）．
綜上可知：存在使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的D點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，3）和（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用中的由點(diǎn)在直線求直線表達(dá)式以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)①對(duì)角線互相平分；②對(duì)邊相等來解決問題．本題難度不大，失分點(diǎn)是同學(xué)們往往忘記在考慮以線段AB為邊時(shí)還存在兩種情況，從而少的出一種結(jié)論．