Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x2+bx+c經過點A（6，0）、B（0，-4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若拋物線對稱軸與x軸交于點C，連接BC，點P在拋物線對稱軸上，使△PBC為等腰三角形，請寫出符合條件的所有點P坐標．（直接寫出答案）

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，通過待定系數(shù)法來求b、c的值；
（1）需要分類討論：BC=BP、BC=CP、BP=CP這三種情況下的點P的坐標．

解答：（1）∵拋物線經過點B（0，-4）
∴c=-4．
又拋物線y=-

1

3

x2+bx+c經過點A（6，0），
∴0=-

1

3

×62+6b-4
∴b=

8

3

∴該拋物線的解析式為：y=-

1

3

x2+

8

3

x-4；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為：y=-

1

3

x2+

8

3

x-4．則對稱軸為x=4，C（4，0）．
∵B（0，-4），
∴BC=4

2

．
①當BC=CP時，CP=±4

2

，則P₁（4，4

2

），P₂（4，-4

2

）；
②當BP=CP時，點P是線段BC的中垂線與直線x=4的交點，此時P₃（4，-4）；
③當BC=BP時，CP₄=2CP₃=8，此時P₄（4，-8）；
綜上所述，符合題意的點P的坐標分別是：P₁（4，4

2

），P₂（4，-4

2

），P₃（4，-4），P₄（4，-8）．

點評：本題考查拋物線與x軸的交點，等腰等腰三角形的性質．題目中沒有指出等腰三角形的底邊，所以解題時要分類討論，以防漏解．