Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）、B（0，-4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，使△PBC為等腰三角形，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)P坐標(biāo)．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰三角形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)求b、c的值；
（1）需要分類(lèi)討論：BC=BP、BC=CP、BP=CP這三種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-4）
∴c=-4．
又拋物線y=-

1

3

x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），
∴0=-

1

3

×62+6b-4
∴b=

8

3

∴該拋物線的解析式為：y=-

1

3

x2+

8

3

x-4；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為：y=-

1

3

x2+

8

3

x-4．則對(duì)稱(chēng)軸為x=4，C（4，0）．
∵B（0，-4），
∴BC=4

2

．
①當(dāng)BC=CP時(shí)，CP=±4

2

，則P₁（4，4

2

），P₂（4，-4

2

）；
②當(dāng)BP=CP時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線x=4的交點(diǎn)，此時(shí)P₃（4，-4）；
③當(dāng)BC=BP時(shí)，CP₄=2CP₃=8，此時(shí)P₄（4，-8）；
綜上所述，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是：P₁（4，4

2

），P₂（4，-4

2

），P₃（4，-4），P₄（4，-8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，等腰等腰三角形的性質(zhì)．題目中沒(méi)有指出等腰三角形的底邊，所以解題時(shí)要分類(lèi)討論，以防漏解．