Question

問題再現(xiàn)：
數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式．
將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1：
這個圖形的面積可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）² =a²+2ab+b²
這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式．
（1）嘗試解決：
請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義推證平方差公式．
（要求自己構圖并寫出推證過程）

問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：1³+2³=3²？
如圖2，
A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
（2）嘗試解決：
請你類比上述推導過程，利用圖形幾何意義方法推證：1³+2³+3³=

 

．（要求自己構造圖形并寫出推證過程）．
（3）問題拓廣：
請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=

 

．（要求直接寫出結論，不必寫出解題過程）

Answer 1

考點：完全平方公式的幾何背景

專題：

分析：（1）嘗試解決：如圖：邊長為a，b的兩個正方形，邊保持平行，從大正方形中剪去小正方形，剩下的圖形可以分割成4個大小相等的梯形．根據(jù)第一個圖形的陰影部分的面積是a²-b²，第二個圖形的陰影部分的面積是（a+b）（a-b），可以推證平方差公式；
（2）嘗試解決：如圖，A表示一個1×1的正方形，B、C、D表示2個2×2的正方形，E、F、G表示3個3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一個邊長為（1+2+3）的大正方形，根據(jù)大正方形面積的兩種表示方法，可以得出1³+2³+3³=6²；
（3）問題拓廣：由上面表示幾何圖形的面積探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，進一步化簡即可．

解答：解：（1）嘗試解決：
∵第一個圖形的陰影部分的面積是a²-b²，
第二個圖形的陰影部分的面積是（a+b）（a-b），
∴a²-b²=（a+b）（a-b）．
即可以驗證平方差公式的幾何意義；

（2）嘗試解決：
如圖，A表示一個1×1的正方形，即：1×1×1=1³，
B、C、D表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=2³，
E、F、G表示3個3×3的正方形，即：3×3×3=3³，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一個大正方形，邊長為：1+2+3=6，
∵S_A+S_B+S_C+S_D+S_E+S_F+S_G=S_大正方形，
∴1³+2³+3³=6²；

（3）問題拓廣：
由上面表示幾何圖形的面積探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
又∵1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴1³+2³+3³+…+n³=（

n(n+1)

2

）²=

n2(n+1)2

4

．
故答案為6²；

n2(n+1)2

4

．

點評：此題主要考查了平方差公式的證明，注意熟練掌握通過不同的方法計算同一個圖形的面積來證明一些公式的方法，利用數(shù)形結合是解題的關鍵．