Question

我們定義：在一個(gè)圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長(zhǎng)，我們稱這條直線為這個(gè)圖形的“等分積周線”．

（1）如圖1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，請(qǐng)你在圖1中用尺規(guī)作圖作出△ABC的一條“等分積周線”；
（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說(shuō)出確定的方法‘若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足為F，交BC于點(diǎn)E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求證：直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；
（4）如圖3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，請(qǐng)你不過(guò)△ABC的頂點(diǎn)，畫出△ABC的一條“等分積周線”，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專題：

分析：（1）作線段AC的中垂線BD即可得出答案；
（2）若直線CD平分△ABC的面積，那么S_△ADC=S_△DBC，得出AC≠BC，進(jìn)而得出答案；
（3）根據(jù)勾股定理可得出：AB²+BE²=CE²+DC²，進(jìn)而得出BE=5，CE=3，進(jìn)而得出周長(zhǎng)與面積分別相等得出答案即可；
（4）在AC上取一點(diǎn)F，使得FC=AB=6，在BC上取一點(diǎn)E，使得BE=2，作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．

解答：解：（1）如圖1所示：作線段AC的中垂線BD即可；

（2）不能，
理由：如圖2，若直線CD平分△ABC的面積，那么S_△ADC=S_△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴過(guò)點(diǎn)C不能畫出一條“等分積周線”

（3）連接AE、DE，設(shè)BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S_△AEF=S_△DEF，
∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理可得出：
AB²+BE²=CE²+DC²，即3²+x²=（8-x）²+5²，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S_△ABE=S_△DCE，
∴S_{四邊形ABEF}=S_△ABE+S_△AEF，
S_{四邊形DCEF}=S_△DEF+S_△DCE，
∴S_{四邊形ABEF}=S_{四邊形DCEF}，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；

（4）如圖4，在AC上取一點(diǎn)F，使得FC=AB=6，在BC上取一點(diǎn)E，使得BE=2，
作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，
理由：由作圖可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一點(diǎn)G，使得CG=AF=2，則有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中

AF=CG ∠A=∠C AB=CF

∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S_△ABF=S_△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S_△BFE=S_△EFG，
∴S_△EFC=S_{四邊形ABEF}，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分積周線，
若如圖5，當(dāng)BM=2cm，AN=6cm時(shí)，直線MN也是△ABC的等分積周線．（其實(shí)是同一條），
另外本問(wèn)的說(shuō)理也可以通過(guò)作高，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算說(shuō)明）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖和全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意正確分割圖形是解題關(guān)鍵．