Question

15．已知△ABC的面積是1，A₁、B₁、C₁分別是△ABC三邊上的中點，△A₁B₁C₁的面積記為S₁；A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁三邊上的中點，△A₂B₂C₂的面積記為S₂；以此類推，則△A₄B₄C₄的面積S₄是（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{64}$
• C． $\frac{1}{128}$
• D． $\frac{1}{256}$

Answer 1

分析 由于A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為$\frac{1}{2}$，就可求出S${\;}_{△{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$s_△ABC=$\frac{1}{4}$×1=$\frac{1}{4}$，同樣地方法得出S${\;}_{△{A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}}$=$\frac{1}{16}$，即可得出答案．

解答 解：∵A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位線，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為$\frac{1}{2}$，
∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=1，
∴S_△A1B1C1=$\frac{1}{4}$，
∵A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中點，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比為$\frac{1}{2}$，
∴S_△A2B₂C₂=$\frac{1}{16}$，
依此類推：S${\;}_{△A{{\;}_{4}B}_{4}{C}_{4}}$=$\frac{1}{256}$，
故選D．

點評 本題考查了三角形中位線定理的運用，相似三角形的判定與性質的運用，能根據求出的數(shù)得出規(guī)律是解此題的關鍵．