Question

3．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=$\frac{1}{2}$BC=5，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連結(jié)DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)
①當α=0°時，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；②當α=180°時，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）拓展探究
試判斷：當0°≤α＜360°時，$\frac{AE}{BD}$的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．
（3）問題解決
當△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長（保留根號）及相應的旋轉(zhuǎn)角α（精確到1°）的大�。▍⒖紨�(shù)據(jù)：tan25°≈0.50，sin25°≈0.45，cos25°≈0.89）．

Answer 1

分析 （1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少；
②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據(jù)$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少即可；
（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{BD}$，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少，進而判斷出$\frac{AE}{BD}$的大小沒有變化即可．
（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點A，D，E所在的直線和BC平行時；②點A，D，E所在的直線和BC相交時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．

解答 解：（1）①當α=0°時，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴AE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
②如圖1，
當α=180°時，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（2）如圖2，
當0°≤α＜360°時，$\frac{AE}{BD}$的大小沒有變化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（3）①如圖3，
∵AC=5$\sqrt{5}$，CD=5，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=10，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5$\sqrt{5}$，

②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，
∵AC=5$\sqrt{5}$，CD=5，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=10，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴AE=AD-DE=10-$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$，
由（2），可得$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=3$\sqrt{5}$．
綜上所述，BD的長為5$\sqrt{5}$或3$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了幾何變換綜合題，相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，線段長度的求法，以及矩形的判定和性質(zhì)的應用，考查了分析推理能力，數(shù)形結(jié)合思想的應用，要熟練掌握．