Question

平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，點C的坐標為（-3，4），點A在x軸的正半軸上，O為坐標原點，連接OB，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過C、O、A三點．
（1）直接寫出這條拋物線的解析式；
（2）如圖1，對于所求拋物線對稱軸上的一點E，設(shè)△EBO的面積為S₁，菱形ABCO的面積為S₂，當S₁≤

1

4

S₂時，求點E的縱坐標n的取值范圍；
（3）如圖2，D（0，-

5

2

）為y軸上一點，連接AD，動點P從點O出發(fā)，以

5

5

個單位/秒的速度沿OB方向運動，1秒后，動點Q從O出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿折線O-A-B方向運動，設(shè)點P運動時間為t秒（0＜t≤6），是否存在實數(shù)t，使得以P、Q、B為頂點的三角形與△ADO相似？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,三角形的面積

專題：壓軸題,動點型

分析：（1）求得菱形的邊長，則A的坐標可以求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得菱形的面積，即可求得S₁的范圍，當S1取得最大值時即可求得直線的解析式，則n的值的范圍即可求得；
（3）分當1＜t＜3.5時和3.5≤t≤6時兩種情況進行討論，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列方程求解．

解答：解：（1）∵C點坐標為（-3，4），四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，A點坐標為（5，0），
根據(jù)題意得：

9a-3b+c=4 c=0 25a+5b+c=0

，
解得：

a= 1 6 b=- 5 6 c=0

，
則拋物線的解析式是：y=

1

6

x²-

5

6

x；

（2）設(shè)BC與y軸相交于點G，則S₂=OG•BC=20，
∴S₁≤5，
又OB所在直線的解析式是y=2x，OB=

OG2+GB2

=2

5

，
∴當S₁=5時，△EBO的OB邊上的高是

5

．
如圖1，設(shè)平行于OB的直線為y=2x+b，則它與y軸的交點為M（0，b），與拋物線對稱軸x=

5

2

交于點E（

5

2

，n）．
過點O作ON⊥ME，點N為垂足，若ON=

5

，由△MNO∽△OGB，得OM=5，
∴y=2x-5，
由

y=2x-5 x= 5 2

，
解得：y=0，
即E的坐標是（

5

2

，0）．
∵與OB平行且到OB的距離是

5

的直線有兩條．
∴由對稱性可得另一條直線的解析式是：y=2x+5．
則E′的坐標是（

5

2

，10）．
由題意得得，n的取值范圍是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如圖2，動點P、Q按題意運動時，
當1＜t＜3.5時，
OP=

5

5

t，BP=2

5

-

5

5

t，OQ=2（t-1），
連接QP，當QP⊥OP時，有

PQ

OQ

=sin∠BOQ=sin∠OBC=

2

5

，
∴PQ=

4

5

（t-1），
若

PQ

PB

=

1

2

，則有

PQ

PB

=

OD

OA

，
又∵∠QPB=∠DOA=90°，
∴△BPQ∽△AOD，
此時，PB=2PQ，即2

5

-

5

5

t=

8

5

（t-1），
10-t=8（t-1），
∴t=2；
當3.5≤t≤6時，QB=10-2（t-1）=12-2t，連接QP．
若QP⊥BP，
則有∠PBQ=∠ODA，
又∵∠QPB=∠AOD=90°，
∴△BPQ∽△DOA，
此時，QB=

5

PB，即12-2t=

5

（2

5

-

5

5

t），12-2t=10-t，
∴t=2（不合題意，舍去）．
若QP⊥BQ，則△BPQ∽△DAO，
此時，PB=

5

BQ，
即2

5

-

5

5

t=

5

（12-2t），2-

1

5

t=12-2t，
解得：t=

50

9

．
則t的值為2或

50

9

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．